Борис Чайковский родился в Москве. Учился в Музыкальном училище имени Гнесиных (педагоги Е. О. Месснер, В. Я. Шебалин, Е. Ф. Гнесина, И. В. Способин, А. Ф. Мутли). Затем учился в Московской консерватории им. П. И. Чайковского – по классу фортепиано у Л. Н. Оборина, по композиции у Н. Я. Мясковского, В. Я. Шебалина и Д. Д. Шостаковича.
С 1989 года – профессор кафедры композиции Государственного музыкально-педагогического института имени Гнесиных (с 1992 – Российская академия музыки имени Гнесиных). Среди его учеников – Ю. Б. Абдоков, С. М. Прокудин.
Автор пяти симфоний (включая Камерную) и множества симфонических произведений, четырёх концертов для солирующих инструментов с оркестром, камерных инструментальных и вокальных сочинений, музыки к радиопостановкам, драматическим спектаклям и кинофильмам.
«Его симфонии, концерты, квартеты, сонаты показывают, что нет отмирающих жанров, ибо в лаборатории, где царствует талант, любой жанр является в основном стимулом и толчком для фантазии, вдохновения, общения с людьми, реализации вынашиваемых или спонтанно возникающих идей», – так о Борисе Александровиче говорил его современник композитор Моисей Вайнберг.
Борис Александрович Чайковский умер 7 февраля 1996 года в Москве.
