Родился Владимир Андреевич в деревне Власиха (ныне Октябрьский район Костромской области). По окончании школы поступил на химический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В университете занимался в литобъединении, руководителем которого был поэт-фронтовик Николай Старшинов, ставший близким другом Кострова.
После окончания МГУ в 1958–1960 годах работал инженером в отделе главного технолога на Загорском оптико-механическом заводе, ему принадлежит несколько изобретений.
В 1967 году закончил Высшие литературные курсы. В 60-х годах был заведующим отделом в журнале «Техника – молодёжи», работал в журнале «Смена».
С 1980 по 1986 год был секретарём Союза писателей Москвы, с 1986 по 1992 год заместителем главного редактора журнала «Новый мир».
Лауреат Государственной премии РСФСР имени М. Горького (1987), премии Правительства Российской Федерации в области культуры (2006) и ряда других премий.
Трижды становился лауреатом конкурса «Песня года».
Автор либретто оперы Л. Квинт «Джордано», многократно звучавшей на сценах Москвы и Ленинграда в исполнении Валерия Леонтьева и Ларисы Долиной.
Составитель и ответственный редактор антологии «Русская поэзия. XX век» (Олма-Пресс, 1999, 2001).
Поэт переводил с языков народов СССР, также написанные по-французски стихи Тютчева.
Проводил первые Есенинские чтения.
Председатель Международного Пушкинского комитета, вице-президент международного Пушкинского фонда «Классика».
При жизни поэта вышло более 20 авторских сборников, в том числе «Кострома – Россия», им написаны песни к нескольким фильмам: «Юнкера», «Прощальное эхо».
Умер 26 октября 2022 года на 88-м году жизни после тяжёлой и продолжительной болезни.
